行测数量关系备考，和定最值问题是一类规律性极强的题型——题目给出多个数的和一定，要求求其中某个量的最大值或最小值。其实，和定最值问题的核心思想只有八个字：此消彼长，极限思考。掌握从题型识别到构造极端情况的技巧，考生就能在考场上快速锁定答案。本文闪能公考来详细讲解如何解答和定最值问题。

一、解题原理：此消彼长与极限思想

和定最值问题的本质是：在总和不变的条件下，要让其中一个量尽可能大，就要让其他量尽可能小；要让其中一个量尽可能小，就要让其他量尽可能大。这就是“此消彼长”的原则。

解题三步走：

（1）明确目标：题目要求的是最大值还是最小值？

（2）构造极端：根据目标，让其他量取到极端值（最大或最小）。

（3）列式求解：利用总和固定，列出方程或不等式，解出目标量。

需要注意的是，当题目中涉及“互不相同”“整数”等限制条件时，极端值的构造需要结合实际情况调整。

【案例解析】

题目：5个互不相同的正整数的和为20，求其中最大数的最大值。

思路：要让最大数尽可能大，则其他4个数要尽可能小。最小的4个互不相同正整数为1、2、3、4，和为10，所以最大数=20-10=10。

答案：10。

二、题型分类：三类问题各有侧重

根据问法的不同，和定最值问题可以分为三类，每类的构造思路略有差异。

1. 求最大量的最小值（或最小量的最大值）

这类问题是“最值中的最值”，常见问法如“排名第x的最多/最少是多少”。构造原则是：让所有量尽可能接近（平均分配），因为要满足总和固定，让最大量最小，就要让所有量尽量相等；让最小量最大，也是让所有量尽量相等。

【案例解析】

题目：某单位20人参加百分制测验，平均分为88分，所有人得分均为整数且互不相同。问得分排名第十的人最多考多少分？

第一步，确定总和：20×88=1760分。

第二步，构造极端：要让第十名尽可能大，则第十名之后的人要尽可能大（但比第十名小），第十名之前的人也要尽可能大（但比第十名大）。为了简化，通常从极端位置构造。设第十名为x，则前九名最高可设为x+9、x+8……x+1，后十名最高可设为x-1、x-2……x-10（因为分数互不相同）。

第三步，列式：(x+9)+(x+8)+…+(x+1)+x+(x-1)+…+(x-10)=20x+(9+8+…+1)-(1+2+…+10)=20x+45-55=20x-10=1760→20x=1770→x=88.5，取整得88（因为最多，不能超过88.5）。

答案：88分。

2. 求最大量的最大值（或最小量的最小值）

这类问题相对简单，只需让其他量尽可能小（或大）即可。但要注意“互不相同”“整数”等限制。

【案例解析】

题目：5个互不相同的正整数之和为30，求其中最大数的最大值。

构造：让其他4个数尽可能小，即1、2、3、4，和为10，则最大数=30-10=20。

答案：20。

3. 求中间量的最值

这类问题稍复杂，需要结合“向中间靠拢”的思路，让所有量尽量平均，同时考虑极端位置。

【案例解析】

题目：某次数学竞赛共有10道题，每答对一题得3分，答错或不答倒扣1分，每人的得分均为整数。某班5人参赛，得分之和为100分，且5人得分互不相同。问得分第三名的最多可得多少分？

第一步，确定总分：100分。

第二步，构造：要让第三名尽可能大，则第一、第二名尽可能大（但比第三名大），第四、第五名也尽可能大（但比第三名小）。设第三名为x，则第一、第二名最高为x+2、x+1，第四、第五名最高为x-1、x-2（但要注意得分范围）。代入得：(x+2)+(x+1)+x+(x-1)+(x-2)=5x，5x=100→x=20。但20分是否可行？需要验证得分是否可能。每道题得分3或-1，总分可能是3的倍数？实际上，得分范围有限，但这里只作方法演示。

答案：20。

三、实战技巧：构造不等式的艺术

在构造极端情况时，往往需要用到不等式。例如求最大量的最小值，可以设所有量相等，然后调整。

【案例解析】

题目：某单位招聘了65名毕业生，拟分配到7个不同的部门，每个部门分得的人数互不相同。问分得人数第四多的部门最多有多少人？

第一步，确定目标：第四多的人数尽量多。

第二步，构造：要让第四多尽可能大，则前三名应尽可能小（但比第四多），后三名也应尽可能小（且互不相同）。设第四多为x，则第三、第二、第一至少为x+1、x+2、x+3；第五、第六、第七至少为x-1、x-2、x-3。总和至少为(x+3)+(x+2)+(x+1)+x+(x-1)+(x-2)+(x-3)=7x。

第三步，列不等式：7x≤65→x≤9.28，取整得9。

验证：x=9时，前三名为12、11、10，后三名为8、7、6，总和=12+11+10+9+8+7+6=63，小于65，还有2人可分配给前面，但这样会破坏互异，实际上可以调整。x=9可行，x=10时总和至少70>65，所以最大为9。

答案：9。

四、避坑指南：三个常见易错点

易错点一：忽略“互不相同”。如果题目没有明确说“互不相同”，则其他量可以相等，此时构造极端要简单得多。

易错点二：取整时方向错误。例如求最大量的最小值，算出来可能是小数，要向上取整还是向下？求最大值的最小可能，要向上取整；求最小值的最大可能，要向下取整。

易错点三：构造时未考虑实际可行性。例如分数必须为整数、人数必须为正整数等，构造后要验证是否满足所有条件。

以上是闪能介绍的如何解答和定最值问题，和定最值问题可以概括为“此消彼长定方向，极端构造列等式”十四个字。求最大量最小，就平均分配；求最大量最大，就让其他最小；求中间量最值，就向中间靠拢。