行测数量关系考试，极值问题是一类让考生又爱又恨的题型——爱它规律性强，恨它思路难寻。而均值不等式正是破解这类问题的“金钥匙”。无论是求最大面积、最大利润，还是最低成本，只要题目中出现“和一定，求积最大”或“积一定，求和最小”的特征，均值不等式就能帮考生快速锁定答案。今天闪能公考来详细介绍均值不等式求极值有哪些技巧。

一、解题原理：两句话吃透均值不等式

均值不等式的核心公式是：对于正实数a、b，有(a+b)/2≥√ab，当且仅当a=b时取等号。这个公式可以推导出两个在行测中极其重要的结论：

1. 和定积大：当a与b的和为定值时，a与b的乘积存在最大值，且当a=b时乘积最大。简记为“和定差小积大”。

2. 积定和小：当a与b的乘积为定值时，a与b的和存在最小值，且当a=b时和最小。简记为“积定差小和小”。

【案例解析】

题目：用一段长为36米的篱笆围成一个矩形的菜园（一面靠墙），问矩形的长为多少米时，菜园面积最大？

分析：设垂直于墙的边长为x，则平行于墙的边长为36-2x。面积S=x(36-2x)=2x(18-x)。这里x与(18-x)的和为定值18，根据“和定积大”，当x=18-x即x=9时面积最大，此时长为18米。

答案：18米。

二、应用场景：两类问题快速识别

均值不等式在行测中主要有两类应用场景，掌握它们的特征就能快速识别题型。

场景一：几何最值问题——通常涉及矩形面积、篱笆围栏等。特征是给出周长或边长和，求面积最大值；或给出面积，求周长最小值。

【案例解析】

题目：建造一个容积为16立方米，深为4米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米160元和100元，求最低造价？

第一步：底面积=16÷4=4平方米，池底造价为160×4=640元（定值）。

第二步：设池底长和宽分别为a、b，则ab=4，侧面积=2×4×(a+b)=8(a+b)。总造价=640+100×8(a+b)=640+800(a+b)。

第三步：ab=4为定值，根据“积定和小”，当a=b=2时a+b最小为4，造价=640+800×4=3840元。

答案：3840元。

场景二：利润最值问题——通常涉及商品涨价、降价促销等。特征是单件利润和销量此消彼长，求总利润最大值。

【案例解析】

题目：某商品进货单价80元，销售单价100元，每天可售120件。每降价1元，每天多售20件。求降价多少元时利润最大？

第一步：设降价x元，则利润y=(100-x-80)×(120+20x)=(20-x)(120+20x)。

第二步：提取公因数20，得y=20(20-x)(6+x)。这里(20-x)与(6+x)的和为定值26。

第三步：根据“和定积大”，当20-x=6+x即x=7时，利润最大。

答案：降价7元。

三、构造技巧：化“非常”为“定值”

并非所有题目都能直接套用均值不等式。当两个变量的和或积不为定值时，需要先通过“构造”创造条件。常用技巧有：

技巧一：提取公因数，构造和定。如上述利润问题中，提取20后使两个括号的和为定值。

技巧二：裂项转化，构造积定。有些题目需要将表达式拆分成乘积形式，再寻找定值关系。

技巧三：整数约束处理。当题目要求变量为整数，且均值不等式求出的相等值非整数时，取最接近的两个整数即可。

【案例解析】

题目：某旅行社组团，30人起成团，每人单价800元。每增加1人，单价降低10元。问人数多少时利润最大？

第一步：设增加x人，则总人数=30+x，单价=800-10x，利润y=(30+x)(800-10x)。

第二步：提取公因数10，得y=10(30+x)(80-x)。此时(30+x)与(80-x)的和为定值110。

第三步：当30+x=80-x即x=25时利润最大，总人数=55。

答案：55人。

以上是闪能讲解的均值不等式求极值技巧，均值不等式求极值可以概括为“和定积大，积定和小”八个字。掌握这两个结论，再辅以提取公因数等构造技巧，考生就能在考场上快速识别题型、准确套用公式。这类题考查的不是复杂的数学推导，而是考生能否在变量关系中找到“定值”这个关键。