行测数量关系备考，和定最值问题堪称“最讲道理”的题型——它不涉及复杂公式，只需把握“此消彼长”的分配原则。然而，很多考生面对“最大数的最小值”“最小数的最大值”等问法时，常常不知如何构造极端情形。其实，这类问题的核心是“逆向思维”与“平均分配”。今天闪能公考来详细讲解和定最值题型求极值问题有哪些技巧。

一、解题原理：此消彼长，极端构造

和定最值问题是指：若干个数的总和为定值，求其中某个数的最大值或最小值。其核心原理是：若要使某个量尽可能大，则其余量应尽可能小；若要使某个量尽可能小，则其余量应尽可能大。在此基础上，还需考虑题目附加条件（如互不相等、均为整数、范围限制等）。

通用步骤：

1. 明确目标：求最大值还是最小值？对应地，确定其他量的方向（小或大）。

2. 极端构造：按照“其他量取极端值”的原则，列出表达式。

3. 求解验证：解出目标值，检查是否满足所有条件，必要时调整。

案例速览：5个互不相同的正整数之和为30，求最大数的最大值。其他4个数最小为1、2、3、4，和10，则最大数=30-10=20。

二、三大题型及应对技巧

题型一：求最大量的最大值或最小量的最小值

这类问题最为直接。求最大量的最大值，就让其他量尽可能小（通常取最小值，如1、2、3…或题目给定的下限）；求最小量的最小值，就让其他量尽可能大（通常取上限或根据总和限制）。

技巧：直接构造极端序列，列式求解。

案例：8个连续自然数之和为108，求其中最大数的最大值。

分析：8个连续自然数，设最小为x，则最大为x+7，和=8x+28=108→x=10，最大=17。但若问“最大数的最大值”，则让其他数尽可能小？注意“连续”已固定，所以此处是确定值。若没有“连续”限制，只是8个互不相同的正整数，则最大数最大值=108-(1+2+…+7)=108-28=80。

题型二：求最大量的最小值或最小量的最大值

这类问题需要“平均分配”。要使最大数尽可能小，就让所有数尽可能接近平均数；要使最小数尽可能大，也让所有数尽可能接近平均数。若有互不相等要求，则从平均数向两侧离散构造。

技巧：先求平均数，再根据整数和互异条件调整。

案例：5个互不相同的正整数之和为30，求最大数的最小值。平均数=6，构造5、6、7、8、4？和为30，最大为8。若最大为7，则其余4数和23，最小可能为1+2+3+4=10，但最大和也无法达到23（1+2+3+7=13），故最大数至少为8。答案为8。

题型三：混合极值（求第n大的最值）

例如“第三名最多得多少分”。此时，既要考虑目标量的极端，也要兼顾前后量的约束。

技巧：设所求量为x，根据“前面尽可能大、后面尽可能小”的原则，用不等式表示总和，解出x的范围。

案例：某单位招聘了65名毕业生，拟分配到7个不同的部门，每个部门分得的人数互不相同。问分得人数第四多的部门最多有多少人？

第一步，确定目标：第四多的人数尽量多。

第二步，构造：要让第四多尽可能大，则前三名应尽可能小（但比第四多），后三名也应尽可能小（且互不相同）。设第四多为x，则第三、第二、第一至少为x+1、x+2、x+3；第五、第六、第七至少为x-1、x-2、x-3。总和至少为 (x+3)+(x+2)+(x+1) + x +(x-1)+(x-2)+(x-3) = 7x。

第三步，列不等式：7x ≤ 65 → x ≤ 9.28，取整得9。

验证：x=9时，前三名为12、11、10，后三名为8、7、6，总和=12+11+10+9+8+7+6=63，小于65，还有2人可分配给前面，但这样会破坏互异，实际上可以调整。x=9可行，x=10时总和至少70>65，所以最大为9。

答案：9。

三、案例解析：综合题型实战

例题：某次数学竞赛共有10道题，每题10分，总分为100分。甲、乙、丙、丁四人参赛，四人总分和为280分，且每人得分均为整数。已知甲得分最高，丁得分最低。问甲得分最少是多少？

解题步骤：

1. 明确目标：求甲的最小值，则让乙、丙、丁尽可能大，但受限于甲最高、丁最低。

2. 设甲为x，则乙、丙最大为x（但不能超过甲，且需互异？题目未明确互异，但“最高”“最低”通常允许并列？为安全，假设可以并列，则乙、丙最大可取x，丁最大可取x-1（因为丁最低，且不能等于甲？若允许并列，丁也可等于x，但甲最高，则所有人都x，总和4x=280→x=70，此时甲最低70。但若要求互异，则乙、丙最大为x-1，丁最大为x-2，则总和≤x+(x-1)+(x-1)+(x-2)=4x-4≥280→4x≥284→x≥71。因此，若允许并列，甲最少70；若不并列，甲最少71。通常题目会说明“得分互不相同”，此处未说明，但为稳妥，按常见理解“最高”“最低”可能允许并列，但结合“甲得分最高”意味着甲≥其他人，丁最低意味着丁≤其他人。要求甲的最小值，应让乙、丙、丁尽量大，且不违反顺序。取乙=丙=丁=x，则4x=280→x=70，此时甲=乙=丙=丁=70，符合甲最高（并列），丁最低（并列）。故甲最少70分。若题目隐含互不相同，则答案71。此处我们按无附加条件处理。

答案：70分。

四、避坑指南

1. 注意“互不相同”条件：若要求互异，构造时要确保严格递增或递减。

2. 整数约束：求出的值若为小数，需根据“最大”或“最小”进行取整（最大值向下取整，最小值向上取整）。

3. 边界检验：构造后代入验证是否满足总和及所有条件。

4. 区分“至少”与“至多”：求“至少”对应最小值，求“至多”对应最大值。

以上是闪能讲解的和定最值题型求极值技巧，和定最值问题是数量关系中“套路最清晰”的题型之一。掌握了“此消彼长”的核心原则和“极端构造、平均分配”的解题方法，考生就能在考场上快速求解。备考时，建议将“最大量的最大值”“最大量的最小值”“第n大的最值”三类题目分类练习，重点训练整数调整和不等式求解。当考生能够熟练运用“其他量尽可能小/大”的思维时，和定最值问题就不再是难题，而是数量关系中稳拿的得分点。