行测数量关系备考，如何求解利润问题中的最大值？

行测数量关系考试，利润极值问题是一类高频且技巧性强的题型。常见的问法是“售价定为多少时，利润最大？”“降价多少元时，利润最大？”很多考生习惯列二次函数求顶点坐标，虽然能解，但计算稍显繁琐。其实，这类问题有两个核心解法：均值不等式法（和定积最大）和二次函数顶点法。接下来闪能公考详细解析如何求解利润问题中的最大值。

一、模型识别：利润极值问题的典型特征

利润极值问题通常描述为：某商品进价固定，原售价和原销量已知，每降价（或涨价）一定金额，销量会相应增加（或减少），求售价定为多少时利润最大，或求最大利润是多少。

常见变量：设降价x元（或涨价x元），则新单价=原价±x，新销量=原销量±kx（k为变化系数）。总利润=单件利润×销量=(单价-进价)×销量。

解题思路：将总利润表示为关于x的二次函数或两个一次式的乘积，利用顶点公式或均值不等式求最值。

二、方法一：均值不等式法（和定积最大）

对于形如P=(a−x)(b+kx)的利润函数，可提取系数使其化为P=k⋅(m−x)(n+x)的形式，其中

(m−x)+(n+x)=m+n为定值。根据均值不等式，当m−x=n+x时，乘积取得最大值。

操作步骤：

1. 设降价x元，写出利润表达式L=(原单利−x)(原销量+kx)。

2. 提取公因数，使两因式中x的系数互为相反数，从而和为定值。

3. 令两因式相等，解出x，代入得最大利润。

案例1：某商品每件成本40元，原售价60元，每周可卖出300件。若每降价1元，每周可多卖出20件。问售价定为多少时，周利润最大？

解析：

（1）设降价x元，则售价=60-x，销量=300+20x，单件利润=20-x。

（2）总利润L=(20−x)(300+20x)=20(20−x)(15+x)。

（3）(20−x)与(15+x)的和为35，为定值。

（4）当20−x=15+x时，即x=2.5时，乘积最大。

（5）此时售价为60−2.5=57.5元。若要求整数售价，可比较x=2和x=3的利润（两者相等），故售价57元或58元均可。

优点：避免二次函数求导，计算量小。

三、方法二：二次函数顶点法（通用解法）

将利润表达式整理成关于x的二次函数L=ax²+bx+c（a<0），则最大值在顶点x=−b/2a处取得。

适用场景：当利润表达式不易拆分为“和定积最大”形式时，可直接用顶点公式。

案例2：某商品成本为20元，售价为30元时每天卖出100件。每涨价1元，每天少卖出5件。问售价定为多少时利润最大？

解析：设涨价x元，则售价=30+x，销量=100-5x，单利=10+x。

总利润L=(10+x)(100−5x)=1000+100x−50x−5x²=−5x²+50x+1000。

顶点横坐标x=−50/[2×(−5)]=5。

此时售价=30+5=35元，最大利润L=(10+5)(100−25)=15×75=1125元。

优点：普适性强，无需特殊变形。

四、案例解析

例题：某电商销售一种商品，进价为每件100元，原售价为每件150元，每天可卖出200件。市场调查显示，每降价2元，每天可多卖出10件。问售价定为多少时，每天利润最大？

解法一（均值不等式）：

（1）设降价x元（x为2的倍数，但可先按连续量处理），则售价=150-x，销量=200+(x/2)×10=200+5x。单利=50-x。

（2）利润L=(50−x)(200+5x)=5(50−x)(40+x)。

（3）(50−x)+(40+x)=90，定值。

（4）当50−x=40+x时，x=5。

（5）售价=150-5=145元，最大利润L=5×(45)×(45)=5×2025=10125元。

解法二（二次函数）：

L=(50−x)(200+5x)=10000+250x−200x−5x²=−5x²+50x+10000。

顶点x=−50/[2×(−5)]=5，结果相同。

结论：两种方法殊途同归，可根据个人习惯选择。

五、避坑指南：注意事项

1. 变量取整：若降价或涨价必须为整数，求出x后需比较相邻整数点的利润。

2. 定义域：确保降价后单件利润为正，销量为正。

3. 系数提取：用均值不等式时，务必使两因式之和为常数，且系数匹配。

以上闪能介绍的如何求解利润问题中的最大值，利润极值问题的核心是转化为二次函数或利用均值不等式。掌握这两种方法，并熟悉“设未知数→列表达式→求最值”的流程，就能在考场上快速求解。建议平时练习时两种方法都尝试，形成条件反射。当考生能一眼看出“和定积最大”的构造时，利润极值题就能成为考生的秒杀题。